第一百三十二章 这位同学，你来讲讲吧
“本科阶段的泛函分析我们以学习线性泛函分析分析为主，非线性泛函分析一般要等到研究生阶段才开始学习。线性泛函分析主要内容，归纳起来，就是我们常说的一王一后以及四大天王。一王一后就是贝尔纲定理和hahn-banach定理，四大天王分别是开映射定理，闭图像定理，banach-steinhaus定理，闭值域，mazur定理……” 这是一堂复习课，那老师也不多话，直接在课堂上开讲：“今天，我们就从一王一后以及四大天王入手，梳理本学期所学过的相关知识点，包括闭算子的谱分析，对称算子的自伴延，算子半群理论，线性单调算子，算子代数……” 庞学林在座位上打了个哈欠，他居住的那个招待所隔音效果一般，昨晚没睡好，这几天又一直在赶路，他着实有些累了。再加上老师讲课时还带了部分方言口音，语气不温不火，虽然讲的内容没什么问题，但还是让人感觉犯困。 庞学林不知不觉闭上了眼。 也不知过了多久，庞学林突然被一阵喧闹声吵醒。 他有些茫然地睁开眼，便发现教室里不少学生正用戏谑的眼神看着自己。 讲台上，那位秃顶教授正朝自己所在的方向说话：“那位穿军绿大衣的同学，上课时间睡得这么香，看样子你应该什么都会了吧，你过来过来，帮我解一解这道题……” 庞学林环顾四周，然后有些茫然地指了指自己：“老师，我吗？” “对，说的就是你！快点上来，帮我把黑板上这道题解了……” “老师，我不是……” “你上不上来？不上来的话就给我出去，不过你这门课也别想考了。” “这……好吧！” 庞学林犹豫了片刻，还是选择起身。 他原本想着等下课之后找这个教授套套话，问一下几大期刊的地址。 现在如果直接出去，那可真把人家给得罪了。 庞学林走上讲台，众人这才看清楚他那一身装扮。 一身破旧的军大衣，里面隐约可以看到黑色的棉布袄，布袄领子口的线头掉了，露出小半截棉花。 他脚上踩着一双黑布鞋，但几天赶路下来，原本浆洗干净的布鞋早就变脏兮兮不成样了。 这个年代，大学生还是天之骄子，就算家里再穷，也有几身用来对换的体面衣服。 如果不是庞学林本身气质形象都不错，就他这副衣着打扮，早就被人当做是农村出来的盲流了。 “这人是哪班的啊？以前怎么没见过，这身打扮够可以啊！” “老王的课都敢睡觉，这家伙胆子真大。” “我估计他已经放弃临时抱佛脚的念头了，泛函分析太tm难了，老王讲课口音又重，我都犯困想睡觉了……” …… 台下的学生们议论纷纷，一个个好奇地看着庞学林。 王崇庆看着庞学林的装扮，皱了皱眉，说道：“同学，这道题，你来解吧！” 庞学林点了点头，看着黑板上的题目。 【设e，f是两个banach空间，令a:d(a)?e→f为一个闭算子，且d(a)ˉ=e。求证：d(a?)ˉσ(f′，f)=f′d(a?)ˉσ(f′，f)=f′。 其中a?是a的伴随算子，f′是f的对偶空间，σ(f′，f)为f′上的弱*拓扑，d(a?)ˉσ(f′，f)表示d(a?)在弱*拓扑σ(f′，f)下的闭包。】 将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。 【结论1：设f是e的子向量空间满足fˉ≠e.则存在f∈e'不为0，使得(f，x)=0，?x∈f。 结论2：设?:e′→r是线性映射，且对拓扑σ(e′，e)连续，则存在x∈e使得?(f)=(f，x)，?f∈e′。 证明：设?是f′上对拓扑σ(f′，f)连续的线性泛函，在d(a?)上取值为0。由结论1，为证弱*拓扑下的稠密性，只需证明?≡0。 由结论2，存在x∈f使得……】 庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。 “老师，答完了，应该没什么问题吧？” 王崇庆有些出神，这道题在泛函分析中，算的上是压轴大题了，对本科生而言，有一定难度。 他原本都准备等庞学林答不出来的时候，再好好教训他一番，可没想到到这家伙的基础似乎还不错，竟然眨眼间就给出了证明。 无论是证明思路还是过程，都简洁明了，几乎无懈可击。 台下，也响起了学生们的议论声。 “这家伙到底是谁啊，深藏不漏呀！” “这道题我一直没什么思路，没想到他竟然这么快就给解出来了。” “看样子我们数学系牛人还挺多的。” …… 不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。 王崇庆脸色微沉，上课睡觉，就算成绩再好也不行，他可不想轻易放过这家伙。 他想了想，说道：“这位同学，看来你的基础不错，那你就给大家讲讲，你对泛函分析这门课的理解吧。” 泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程，这也是它难学的原因，就算让一位博士上台，也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。 王崇庆嘴角微微翘起，他可不相信一个本科生有这样的能耐。 “老师，你确定……让我来讲课？” 庞学林笑了起来。 “确定！” 王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异，不过他还是点了点头。 庞学林道：“既然如此，那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。” “众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。” “我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、fredholm，hilbert关于积分方程的工作；二、volterra和hadamard关于动量问题的研究；三、lebesgue，frechet和riesz在抽象空间上的工作以及最后，hahn和banach关于对偶这个概念的研究……”